差分トポロジは、微分多様体と分化可能マップを調査するトポロジです。代数的トポロジーと微分幾何学の進歩に伴い、1930年代に再登場したH.ホイットニーは1935年に微分多様体の一般的な定義を与え、常に高次元ユークリッド空間に埋め込むことができることを証明した。微分多様体のベクトル場を研究するために、繊維束の概念を提案し、多くの幾何学的問題が相同性(指標クラス)とホモトピーの問題に関連している。
1953年、ルネ・トムのコロケーション理論は、微分トポロジと代数トポロジーが並んで進んでいる状況を作り出しました。多くの困難な微分トポロジの問題は、代数的なトポロジの問題に変換され、解決され、代数トポロジーも刺激されました。さらなる開発。1956年、ミルノは7次元球の通常の差動構造に加えて、異常な差動構造もあることを発見した。その後、微分構造を割り当てることができない多様体が人間によって構築された。これらはすべて、トポロジー多様体、微分多様体、および間の断片線形多様体の3つのカテゴリーが大きな違いを持っていることを示しており、その後、差分トポロジーはトポロジーの独立した分岐として認識されています。1960年、スマイルは5次元以上の差動多様体のポインカレ予想を証明した。J.W.ミルノらは、微分多様体──剜讓擜を扱う基本的な方法を開発し、5次元以上の多様体の分類が徐々に代数的なものになっている。
顕著な領域は、マニホールドの上記3つのカテゴリと三次元および4次元多様体の分類との関係である。1980年代初頭の主な成果には、4次元ポアンカレ推測の証明と、4次元ユークリッド空間における異常な微分構造の発見が含まれていました。この種の研究は、幾何学的な色を強調するために幾何学的トポロジーと呼ばれ、代数的均質理論とは異なる。